Темпы строительства и добычи полезных ископаемых все более интенсифицируются, возникает все большая потребность в проведении расчетов устойчивости откосов и склонов, разработке мероприятий по их возможной стабилизации, что влечет за собой необходимость определения сил оползневого давления. Существует множество расчетных методов, вместе с тем постоянно появляются новые, в которых уточняются те или иные нюансы. Появляются и научные публикации, в которых проводится критический анализ методов расчета и даются рекомендации по предпочтительному применению последних. Поводом для написания настоящей статьи является одна из таких публикаций, в которой утверждается превосходство одного из расчетных методов над другими. Основным выводом этой публикации «является нецелесообразность использования метода

Г.М. Шахунянца и недопустимость использования методов предельного равновесия для расчета оползневого давления с целью проектирования сооружений инженерной защиты. Лучшим вариантом для расчета подобных задач является использование расширенного метода предельного равновесия. Однако данный подход в российской практике практически не используется» — это точная цитата. Авторами анонсируемой статьи поставлена задача показать, что еще в 1960 1970-х гг. отечественные ученые разработали методы расчета устойчивости откосов и склонов, а несколько позже, и сил оползневого давления, основывающиеся на результатах анализа напряженного состояния грунтового массива и не использующие допущения о форме линии скольжения и приема дискретизации призмы скольжения. В статье приведено краткое изложение этих методов и показаны расчеты величин коэффициента запаса устойчивости и сил оползневого давления для примеров, представленных в работах сторонних авторов. Установлено, что величины соответствующих значений коэффициентов запаса устойчивости практически совпадают, а равнодействующие эпюр сил оползневого давления отличаются на 1,78–16,29%. Делается вывод, что представленные в статье методы имеют весомые преимущества по сравнению с «расширенным методом предельного равновесия».

1. Ахпателов Д.М., Тер-Мартиросян З.Г., 1971. О напряженном состоянии весомых полубесконечных областей. Известия Академии наук Армянской ССР, Том XXIV, № 3, с. 33–40.
2. Бабаханов Б.С., 2013. Определение величины оползневого давления на основе анализа напряженного состояния грунтового массива. Дис. … канд. техн. наук, Волгоградский государственный архитектурно-строительный университет, Волгоград.
3. Богомолов А.Н., 1996. Расчет несущей способности оснований сооружений и устойчивости грунтовых массивов в упругопластической постановке. Изд-во Пермского национального исследовательского политехнического университета, Пермь.
4. Богомолов А.Н., Богомолова О.А., Редин А.В., Ушаков А.Н., 2015. FEA. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2015617889.
5. Богомолов А.Н., Богомолова О.А., Редин А.В., Ушаков А.Н., 2015. МТФКП. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2015660288 от 20.10.2015. Волгоградский государственный архитектурно-строительный университет, Волгоград.
6. Богомолов А.Н., Вихарева О.А., Ушаков А.Н., Шиян С.И., 2007. Оценка напряженно-деформированного состояния, величины коэффициента устойчивости и сил оползневого давления с целью управления оползневыми процессами. Превентивные геотехнические меры по уменьшению природных и техногенных бедствий, Труды I Международного геотехнического Cимпозиума, Южно-Сахалинск, 2007, с. 281–285.
7. Богомолов А.Н., Вихарева О.А., Шиян В.И., 2007. К вопросу о минимальных значениях коэффициента бокового давления грунтов. Вестник Волгоградского государственного архитектурно-строительного университета. Серия Строительство и архитектура, Вып. 7(26), с. 6–10.
8. Богомолов А.Н., Кузнецова С.В., Синяков В.Н., Шубин М.А., Дыба В.П., Скибин Г.М., Олянский Ю.И., Богомолова О.А., Ушаков А.Н., 2012. Расчет устойчивости откосов и проектирование противооползневых сооружений. Интернет-вестник ВолгГАСУ, Вып. 8(24), статья 13.
9. Богомолов А.Н., Ушаков А.Н., 2014. Методы теории функций комплексного переменного в задачах геомеханики. Изд-во Волгоградского государственного архитектурно строительного университета, Волгоград.
10. Богомолова О.А., Жиделев А.В., Богомолов C.А., 2022. Определение сил оползневого давления и давления на шпунтовое ограждение котлована на основе анализа напряженного состояния грунтового массива. Вестник Волгоградского государственного университета архитектуры и гражданского строительства. Серия Гражданское строительство и архитектура, Вып. 4(89), с. 6–21.
11. Болдырев Г.Г., Иванов А.В., Хрянина О.В., 2024. Детерминированный и вероятностный подходы к расчету устойчивости склонов. Геотехника, Том ХVI, № 3, с. 6–25, https://doi.org/10.25296/2221-5514-2024-16-3-6-25. Гинзбург Л.К., 1986. Рекомендации по выбору мет 12. одов расчета коэффициента устойчивости склона и оползневого давления. Центральное бюро научно-технической информации, Москва.
13. Горобцов Д.Н., Фоменко И.К., Новгородова М.А., Сироткина О.Н., 2022. Об оценке оползневых давлений при расчетах устойчивости склонов. Известия высших учебных заведений. Геология и разведка, Том 64, № 3, с. 74–84, https://doi.org/10.32454/0016-7762-2022-64-3-74-84.
14. Казарновский В.Д., Львович Ю.М., Вельмакина Н.И., Яковлева Е.А., Аполлонов Л.Л., 1967. Предложения по расчету устойчивости откосов высоких насыпей и глубоких выемок. Б.и., Москва.
15. Клейн Г.К., 1964. Расчет подпорных стен. Высшая школа, Москва.
16. Колосов Г.В., 1909. Об одном приложении теории функций комплексного переменного к плоской задаче математической теории упругости. Типография К. Маттисена, Юрьев.
17. Лучковский И.Я., 1991. Влияние местных нагрузок на характер распределения давления грунта на ограждающие конструкции. Основания, фундаменты и механика грунтов, № 4, с. 24–27.
18. Мусхелишвили Н.И., 1966. Некоторые основные задачи математической теории упругости. Наука, Москва.
19. Никитин С.Н., 1962. Построение ожидаемой поверхности скольжения по напряжениям в бортах карьера. Уголь, Вып. 1, с. 36–38.
20. Оганесян Л.А., 1963. Численный расчет плит. Решение инженерных задач на электронно-вычислительных машинах, Материалы к Конференции по механизации и автоматизации инженерных и управленческих работ, Ленинград, 1963, с. 85–97.
21. Орлова М.А. (ред.), 1987. Указания по проектрованию причальных набережных (СН-РФ 54.1-85). Б.и., Москва.
22. Тер-Мартиросян З.Г., Ахпателов Д.М., 1974. Напряженное состояние горных массивов в поле гравитации. Доклады АН СССР, Том 220, № 2, с. 311–314.
23. Угодчиков А.Г., 1966. Построение конформно отображающих функций. Наукова думка, Киев.
24. Фадеев А.Б., 1987. Метод конечных элементов в геомеханике. Недра, Москва.
25. Цветков В.К., 1970. Напряжения и деформации в гравитационном полупространстве, ослабленном призматическими полостями различных форм. Физико-технические проблемы разработки полезных ископаемых, № 3, с. 29–35.
26. Цветков В.К., 1972. Решение задачи теории упругости для некоторых форм открытых горных выработок. Горный журнал, № 5, с. 22–27.
27. Цветков В.К., 1974. Устойчивость откосов однородного сложения. Тезисы докладов V Всесоюзной конференции по механике горных пород, Москва, 1975.
28.Цветков В.К., Миркеев А.О., Тер-Эммануильян Н.Я., 1964. Определение постоянных Кристоффеля-Шварца при помощи интегратора ЭГДА и решение одной плоской задачи теории упругости. Известия высших учебных заведений. Строительство и архитектура, № 8, с. 26–31.
29. Шахунянц Г.М., 1953. Земляное полотно железных дорог: вопросы проектирования и расчета. Трансжелдориздат, Москва.
30. Adikari G.S.N., Cummins P.J., 1985. An effective stress slope stability analysis method for dams. Proceedings of the 11th International Conference on soil mechanics and foundation engineering, Vol. 2, San Francisco, USA, 1985, pp. 713–719.
31. Caquot A., 1934. Equilibrium des massifs a frottement Interne. Gauthier Villars, Paris, France, pp. 1–91.
32. Coulomb C.A., 1773. Application des riles de maximus et minimis a quelques problemes de statique relatifs a L`architecture. Memories de savant strangers de L`Academlie des sciences de Paris, Paris, France.
33. Coulomb C.A., 1776. Essai sur une application des regles de maximis et minimis quelques problemes de statique, relatits a l’architecture. Memoires de Mathematique de l’Academie Royale de Science, Vol. 7, pp. 343–387.
34. Craig R.F., 2004. Craig’s soil mechanics, 7th edition. Spon Press, London, UK; New York, USA.
35. Fellenius W., 1927. Earth static calculations with friction and cohesion (adhesion) and assuming circular cylindrical sliding surfaces. Ernst and Sohn, Berlin, Germany.
36. Hrennikoff A., 1941. Solution of problems of elasticity by the framework method. Journal of Applied Mechanics, Vol. 8, No. 4, pp. 169–175.
37. Krahn J., 2004. Stability modeling with SLOPE/W. An engineering methodology, 1st edition, Revision 1. GEO-SLOPE International Ltd., Calgary, Canada.
38. Kulhawy F., 1969. Finite element analysis of the behavior of embankments. PhD Thesis, University of California, Berkeley, CA, USA.
39. Morgenstern N.R., Price V.E., 1965. The analysis of the stability of general slip surfaces. Géotechnique, Vol. 15, Issue 1, pp. 79–93, https://doi.org/10.1680/geot.1965.15.1.79.
40.Morgenstern N.R., Price V.E., 1967. A numerical method for solving the equations of stability of general slip surfaces. Computer Journal, Vol. 9, pp. 388–393, https://doi.org/10.1093/comjnl/9.4.388.
41. Petterson K.E., 1916. The quay slides in Gothenburg on 5th March 1916. Teknisk Tidskrift, Vol. 46, pp. 471–478.
42. Petterson K.E., 1941. A special foundation method for a structure in Gothenburg harbour. Teknisk Tidskrift, Vol. 71, pp. 45–52.
43. Petterson K.E., 1955. The early history of circular sliding surfaces. Géotechnique, Vol. 5, Issue 4, pp. 275–296, https://doi.org/10.1680/geot.1955.5.4.275.
44. Spencer E., 1967. A method of analysis of the stability of embankments assuming parallel inter-slice forces. Géotechnique, Vol. 17, Issue 1, pp. 11–26, https://doi.org/10.1680/geot.1967.17.1.11.
45. Sulistyo C., Zaika Y., Munawir A., 2024. Limit equilibrium method and finite element method for modified Pseudo-static analysis comparison. Civil Engineering and Architecture, Vol. 12, No. 3A, pp. 342–353, https://doi.org/10.13189/cea.2024.121328.
46. Tsytovich N.A., Akhpatelov D.M., Ter-Martirosyan Z.G., 1977. Stressed-strained state of soil masses. Proceedings of the 9th International Conference on soil mechanics and foundation engineering, Tokyo, 1977, pp. 777–780.
47. Verruijt A., 1969. Stress due to gravity in a notched elastic half-plane. Ingenieur-Archiv, Vol. 38, No. 2, рр. 107–118, https://doi.org/10.1007/BF00542574.
48. Verruijt A., 1997. Complex variable solution for a deforming circular tunnel in an elastic half-plane. International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics, Vol. 21, No. 2, pp. 77–89, https://doi.org/0.1002/(SICI)1096-9853(199702)21:23.0.CO;2-M.
49. Warren W., Mitchell T., 1964. Singular loadings in notched half-plane. In W.A. Shaw (ed.), Development in theoretical and applied mechanics, Vol. 2. Pergamon Press, Oxford, UK.
50. Zhu D.Y., Lee C.F., Qian Q.H., Chen G.R., 2005. A concise algorithm for computing the factor of safety using the Morgenstern-Price method. Canadian Geotechnical Journal, Vol. 42, No. 1, pp. 272–278, https://doi.org/10.1139/T04-072.
51. Zhu D.Y., Lee C.F., Qian Q.H., Zou Z.S., Sun F., 2001. A new procedure for computing the factor of safety using the Morgenstern-Price method. Canadian Geotechnical Journal, Vol. 38, No. 4, pp. 882–888, https://doi.org/10.1139/t01-002.
52. Zienkiewicz O.C., Humpheson C., Lewis R.W., 1975. Associated and non-associated visco-plasticity and plasticity in soil mechanics. Géotechnique, Vol. 25, Issue 4, pp. 671–689, https://doi.org/10.1680/geot.1975.25.4.671.

БОГОМОЛОВ А.Н.*
ООО «Научно-проектное экспертно-консультационное предприятие “ОИФ”», г. Новосибирск, Россия, banzaritcyn@mail.ru
Адрес: ул. Телевизионная, д. 15, г. Новосибирск, 630048, Россия
БОГОМОЛОВА О.А.
Волгоградский государственный технический университет, г. Волгоград, Россия, boazaritcyn@mail.ru
Адрес: пр-кт им. В.И. Ленина, д. 28, г. Волгоград, 400005, Россия
БОГОМОЛОВ С.А.
Национальный исследовательский Московский государственный строительный университет, г. Москва, Россия, bogomolovsa@mgsu.ru
Адрес Ярославское шоссе, д. 26, г. Москва, 129337, Россия

The pace of construction and extraction of mineral resources is intensifying leading to a growing need for calculations of slope stability and the development of measures for their potential stabilization. This, in turn, creates a necessity for determining landslide pressure forces. While there are numerous calculation methods the new ones continuously emerge, refining various nuances. Scientific publications also appear offering critical analysis of calculation methods and recommendations for their preferable application. One of such publications gave an impetus for this article it claims the superiority of one calculation method over the others. The main conclusion of that publication is “the inexpediency of using the method of G.M. Shakhunyants and the inadmissibility of using limit equilibrium methods for calculating landslide pressure when designing engineering protection structures. The best option for solving such problems is the use of the extended limit equilibrium method. However, this approach is practically not used in Russian practice” — this is an exact quote. The authors of the present article aim to demonstrate that as early as in the 1960–1970s domestic scientists developed methods for calculating slope stability and, somewhat later, landslide pressure forces. These methods are based on the analysis of the stress state of a soil mass, they do not assume a specific shape of the slip line and do not use discretization of the sliding prism. The paper provides a brief description of these methods and presents calculations of the stability factor and landslide pressure forces for examples given in the works of other authors. It has been established that the values of the corresponding stability factors are practically identical, while the resultants of the landslide pressure force diagrams differ by 1.78–16.29%. It has been concluded that the methods described in the article have significant advantages compared to the “extended limit equilibrium method”.

1. Akhpatelov D.M., Ter-Martirosyan Z.G., 1971. The stress state of ponderable semi-infinite regions. Izvestiya Akademii nauk Armyanskoy SSR, Vol. XXIV, No. 3, pp. 33–40. (in Russian)
2. Babakhanov B.S., 2013. Determination of the value of landslide pressure based on the analysis of the stress state of a soil massif. PhD Thesis, Volgograd State University of Architecture and Civil Engineering, Volgograd. (in Russian)
3. Bogomolov A.N., 1996. The calculation of the bearing capacity of bases of structures and stability of soil masses in elastic-plastic domain. Publishing house of the Perm National Research Polytechnic University, Perm. (in Russian)
4. Bogomolov A.N., Bogomolovа О.A., Redin A.V., Ushakov A.N., 2015. FEA. Certificate of state registration of a computer program No. 2015617889. (in Russian)
5. Bogomolov A.N., Bogomolovа О.A., Redin A.V., Ushakov A.N., 2015. Methods of the theory of functions of a complex variable. Certificate of state registration of a computer program No. 2015660288 dates 20 October 2015. Volgograd State University of Architecture and Civil Engineering, Volgograd. (in Russian)
6. Bogomolov A.N., Vikhareva O.A., Ushakov A.N., Shiyan S.I., 2007. Еvaluation of a stress-strain state, a value of stability factor and landslide pressure forces in order to manage the landslide processes. Geotechnical engineering for disaster prevention and reduction, Proceedings of the 1st International geotechnical Symposium, Yuzhno-Sakhalinsk, 2007, pр. 281–285. (in Russian)
7. Bogomolov A.N., Vikhareva O.A., Shiyan V.I., 2007. On the issue of minimum values of the coefficient of lateral soil pressure. Bulletin of Volgograd State University of Architecture and Civil Engineering. Series Civil Engineering and Architecture, Issue 7(26), pp. 6–10. (in Russian)
8. Bogomolov A.N., Kuznetsova S.V., Sinyakov V.N., Shubin M.A., Dyba V.P., Skibin G.M., Olyansky Yu.I., Bogomolova O.A., Ushakov A.N., 2012. Calculation of slope stability and landslide protection structures design. Internet-Vestnik VolgGASU, Issue 8(24), ID 13. (in Russian)
9. Bogomolov A.N., Ushakov A.N., 2014. Methods of the theory of functions of a complex variable in problems of geomechanics. Publishing house of the Volgograd State University of Architecture and Civil Engineering, Volgograd. (in Russian)
10. Bogomolova O.A., Zhidelev A.V., Bogomolov S.A., 2022. Determination of the forces of landslide pressure and pressure on the sheet pile fence of the pit based on the analysis of the stressed state of the soil massif. Bulletin of Volgograd State University of Architecture and Civil Engineering. Series Civil Engineering and Architecture, Issue 4(89), pp. 6–21. (in Russian)
11. Boldyrev G.G., Ivanov A.V., Khryanina O.V., 2024. Deterministic and probabilistic approaches to calculation of slope stability. Geotechnics, Vol. XVI, No. 3, pp. 6–25, https://doi.org/10.25296/2221-5514-2024-16-3-6-25. (in Russian)
12. Ginzburg L.K., 1986. Recommendations for the selection of methods of calculating a slope stability coefficient and landslide pressure. Tsentralnoye byuro nauchno-tekhnicheskoy informatsii, Moscow. (in Russian)
13. Gorobtsov D.N., Fomenko I.K., Novgorodova M.A., Sirotkina O.N., 2022. Estimation of landslide pressures in slope stability calculations. Izvestiya vuzov. Geologiya i Razvedka, Vol. 64, No. 3, рр. 74–84, https://doi.org/10.32454/0016-7762-2022-64-3-74-84. (in Russian)
14. Kazarnovsky V.D., Lvovich Yu.M., Velmakina N.I., Yakovleva E.A., Apollonov L.L., 1967. Proposals for calculating the stability of slopes of high embankments and deep excavations. No publ., Moscow. (in Russian)
15. Klein G.K., 1964. Calculation of retaining walls. Vysshaya shkola, Moscow. (in Russian)
16. Kolosov G.V., 1909. An application of the theory of functions of a complex variable to a plane problem of the mathematical theory of elasticity. Tipografiya K. Mattisena, Yuryev. (in Russian)
17. Luchkovsky I.Ya., 1991. The influence of local loads on the nature of the distribution of soil pressure on enclosing structures. Osnovaniya, Fundamenty i Mehanika Gruntov, No. 4, pp. 24–27. (in Russian)
18. Muskhelishvili N.I., 1966. Some basic problems of the mathematical theory of elasticity. Nauka, Moscow. (in Russian)
19. Nikitin S.N., 1962. Construction of the expected sliding surface based on stresses in the quarry walls. Ugol, Issue 1, pp. 36–38. (in Russian)
20. Oganesyan L.A., 1963. Numerical calculation of slabs. Solving engineering problems in computers, Materials of the Conference on mechanization and automation of engineering and management work, Leningrad, 1963, pp. 85–97. (in Russian)
21.Orlova M.A. (ed.), 1987. Guidelines for the design of berthing embankments (SN-RF 54.1-85). No publ., Moscow. (in Russian)
22. Ter-Martirosyan Z.G., Akhpatelov D.M., 1974. Stress state of mountain massifs in a gravitational field. Doklady Akademii Nauk USSR, Vol. 220, No. 2, pp. 311–314. (in Russian)
23. Ugodchikov A.G., 1966. Construction of conformally mapping functions. Naukova dumka, Kyiv. (in Russian)
24. Fadeev A.B., 1987. Finite element method in geomechanics. Nedra, Moscow. (in Russian)
25. Tsvetkov V.K., 1970. Stresses and strains in a gravitational half-space weakened by prismatic cavities of various shapes. Fiziko-tekhnicheskiye Problemy Razrabotki Poleznykh Iskopayemykh, No. 3, pp. 29–35. (in Russian)
26. Tsvetkov V.K., 1972. Solution of the problem of elasticity theory for some forms of open-pit mine workings. Gornyi Zhurnal, No. 5, pp. 22–27. (in Russian)
27. Tsvetkov V.K., 1974. Stability of slopes of uniform composition. Abstracts of the 5th All-Union Conference on rock mechanics, Moscow, 1975. (in Russian)
28. Tsvetkov V.K., Mirkeev A.O., Ter-Emmanuilyan N.Ya., 1964. Determination of Christoffel-Schwarz constants using the EGDA integrator and solution of one plane problem of the theory of elastisity. Izvestiya vuzov. Stroitelstvo i Arkhitektura, No. 8, pp. 26–31. (in Russian)
29. Shakhunyants G.M., 1953. Railway roadbeds: design and calculation issues. Transzheldorizdat, Moscow. (in Russian)
30. Adikari G.S.N., Cummins P.J., 1985. An effective stress slope stability analysis method for dams. Proceedings of the 11th International Conference on soil mechanics and foundation engineering, Vol. 2, San Francisco, USA, 1985, pp. 713–719.
31. Caquot A., 1934. Equilibrium des massifs a frottement Interne. Gauthier Villars, Paris, France, pp. 1–91.
32. Coulomb C.A., 1773. Application des riles de maximus et minimis a quelques problemes de statique relatifs a L`architecture. Memories de savant strangers de L`Academlie des sciences de Paris, Paris, France.
33. Coulomb C.A., 1776. Essai sur une application des regles de maximis et minimis quelques problemes de statique, relatits a l’architecture. Memoires de Mathematique de l’Academie Royale de Science, Vol. 7, pp. 343–387.
34. Craig R.F., 2004. Craig’s soil mechanics, 7th edition. Spon Press, London, UK; New York, USA.
35. Fellenius W., 1927. Earth static calculations with friction and cohesion (adhesion) and assuming circular cylindrical sliding surfaces. Ernst and Sohn, Berlin, Germany.
36. Hrennikoff A., 1941. Solution of problems of elasticity by the framework method. Journal of Applied Mechanics, Vol. 8, No. 4, pp. 169–175.
37. Krahn J., 2004. Stability modeling with SLOPE/W. An engineering methodology, 1st edition, Revision 1. GEO-SLOPE International Ltd., Calgary, Canada.
38. Kulhawy F., 1969. Finite element analysis of the behavior of embankments. PhD Thesis, University of California, Berkeley, CA, USA.
39. Morgenstern N.R., Price V.E., 1965. The analysis of the stability of general slip surfaces. Géotechnique, Vol. 15, Issue 1, pp. 79–93, https://doi.org/10.1680/geot.1965.15.1.79.
40. Morgenstern N.R., Price V.E., 1967. A numerical method for solving the equations of stability of general slip surfaces. Computer Journal, Vol. 9, pp. 388–393, https://doi.org/10.1093/comjnl/9.4.388.
41. Petterson K.E., 1916. The quay slides in Gothenburg on 5th March 1916. Teknisk Tidskrift, Vol. 46, pp. 471–478.
42. Petterson K.E., 1941. A special foundation method for a structure in Gothenburg harbour. Teknisk Tidskrift, Vol. 71, pp. 45–52.
43. Petterson K.E., 1955. The early history of circular sliding surfaces. Géotechnique, Vol. 5, Issue 4, pp. 275–296, https://doi.org/10.1680/geot.1955.5.4.275.
44. Spencer E., 1967. A method of analysis of the stability of embankments assuming parallel inter-slice forces. Géotechnique, Vol. 17, Issue 1, pp. 11–26, https://doi.org/10.1680/geot.1967.17.1.11.
45. Sulistyo C., Zaika Y., Munawir A., 2024. Limit equilibrium method and finite element method for modified Pseudo-static analysis comparison. Civil Engineering and Architecture, Vol. 12, No. 3A, pp. 342–353, https://doi.org/10.13189/cea.2024.121328.
46. Tsytovich N.A., Akhpatelov D.M., Ter-Martirosyan Z.G., 1977. Stressed-strained state of soil masses. Proceedings of the 9th International Conference on soil mechanics and foundation engineering, Tokyo, 1977, pp. 777–780.
47. Verruijt A., 1969. Stress due to gravity in a notched elastic half-plane. Ingenieur-Archiv, Vol. 38, No. 2, рр. 107–118, https://doi.org/10.1007/BF00542574.
48. Verruijt A., 1997. Complex variable solution for a deforming circular tunnel in an elastic half-plane. International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics, Vol. 21, No. 2, pp. 77–89, https://doi.org/0.1002/(SICI)1096-9853(199702)21:23.0.CO;2-M.
49. Warren W., Mitchell T., 1964. Singular loadings in notched half-plane. In W.A. Shaw (ed.), Development in theoretical and applied mechanics, Vol. 2. Pergamon Press, Oxford, UK.
50. Zhu D.Y., Lee C.F., Qian Q.H., Chen G.R., 2005. A concise algorithm for computing the factor of safety using the Morgenstern-Price method. Canadian Geotechnical Journal, Vol. 42, No. 1, pp. 272–278, https://doi.org/10.1139/T04-072.
51. Zhu D.Y., Lee C.F., Qian Q.H., Zou Z.S., Sun F., 2001. A new procedure for computing the factor of safety using the Morgenstern-Price method. Canadian Geotechnical Journal, Vol. 38, No. 4, pp. 882–888, https://doi.org/10.1139/t01-002.
52. Zienkiewicz O.C., Humpheson C., Lewis R.W., 1975. Associated and non-associated visco-plasticity and plasticity in soil mechanics. Géotechnique, Vol. 25, Issue 4, pp. 671–689, https://doi.org/10.1680/geot.1975.25.4.671.

ALEXANDER N. BOGOMOLOV*
Design and Research Expert Counseling Enterprise “OIF” LLC; Novosibirsk, Russia; banzaritcyn@mail.ru
Address: Bld. 15, Televizionnaya St., 630048, Novosibirsk, Russia
OKSANA A. BOGOMOLOVA
Volgograd State Technical University; Volgograd, Russia; boazaritcyn@mail.ru
Address: Bld. 28, Lenina Ave, 400005, Volgograd, Russia
SERGEY A. BOGOMOLOV
Moscow State (National Research) University of Civil Engineering; Moscow, Russia; bogomolovsa@mgsu.ru
Address: Bld. 26, Yaroslavskoe Hwy, 129337, Moscow, Russia