В статье рассматриваются вопросы выбора стохастической модели уравнивания, связанной с назначением весов геодезическим измерениям, учетом корреляции между этими измерениями и возможностью замены строгого уравнивания по методу наименьших квадратов с весовой матрицей измерений на приближенное с произвольной симметричной невырожденной матрицей. На основе принципа ничтожного влияния, обобщенной дисперсии и неравенства Канторовича получен универсальный критерий для оценки существенности различий между результатами строгого и приближенного уравнивания, не зависящий от вида геодезических измерений и типа геодезической сети. Рассмотрены случаи линейных, угловых и спутниковых измерений. Актуализировано выполненное ранее исследование для линейных измерений, полученных с использованием современных светодальномерных блоков электронных тахеометров в различных режимах измерений. Определено, в пределах каких расстояний линейным измерениям можно назначать одинаковые веса в зависимости от точностных характеристик измерительного прибора и выбранного режима измерений, и показано, в каких случаях для этого можно не учитывать влияние ошибок центрирования и редукции. Для угловых измерений исследована возможность неучета корреляции определения углов, полученных по методам базового и последовательного направлений, а также при выполнении измерений по способу круговых приемов. Для спутниковых измерений установлен диапазон длин базисных линий, в пределах которого уравнивание векторов возможно без корректирования их обратных весовых матриц, а также проанализирована необходимость учета корреляции между компонентами векторов. Полученные результаты позволяют обоснованно упростить математическую обработку геодезических измерений и оптимизировать вычислительный процесс без существенного ущерба для точности получаемых результатов.

1. Алексеева А.А., 2024. Учет корреляции фазовых разностей при обработке спутниковых измерений. Международная студенческая неделя науки СНН-2023, Cборник статей 78-й научно-технической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых, Москва, 2023, c. 28–35, https://doi.org/10.30533/vestnikgeo-2023-027.
2. Антонович К.М., 2006. Использование спутниковых радионавигационных систем в геодезии. Том 2. Картгеоцентр, Москва.
3. Антонович К.М., Яхман В.В., 2006. Выбор стохастической модели при уравнивании спутниковых геодезических сетей. Вестник СГГА, № 11, с. 58–64.
4. Астапович А.В., 2022. Способ угловых измерений без систематических ошибок с представлением результатов рядом равноточных независимых направлений. Геодезия и картография, Том 83, № 12, с. 2–11, https://doi.org/10.22389/0016-7126-2022-990-12-2-11.
5. Большаков В.Д., Маркузе Ю.И., 1979. Городская полигонометрия (уравнивание и основы проектирования). Недра, Москва.
6. Вершинин В.И., 2000. Влияние ошибок весов измерений на результаты уравнивания и оценку точности. Геодезия и картография, № 6, с. 17–22.
7. Визгин А.А., 1962. Анализ методов высокоточных угловых измерений и влияние ошибок в весах измеренных величин на результаты уравновешивания геодезических построений. В сб. статей Исследования по геодезии, Вып. 12. Геодезиздат, Москва, с. 9–74.
8. Воронин Е.Г., 2022. Влияние весов прямых измерений на результаты решения обратных задач фотограмметрии. Геодезия и картография, Том 83, № 9, с. 37–46, https://doi.org/10.22389/0016-7126-2022-987-9-37-46.
9. Голубев В.В., 2021. Теория математической обработки геодезических измерений. Инфра-Инженерия, Москва— Вологда.
10. Громов Е.В., 1969. К вопросу об определении весов в светодальномерной полигонометрии. Геодезия и картография, № 11, с. 13–16.
11. Зубарев А.Э., 2010. Численный эксперимент с математической обработкой геодезических измерений. Известия высших учебных заведений. Геодезия и аэрофотосъемка, № 2, с. 28–33.
12. Киселев М.И., 1975. О влиянии способа угловой привязки и соотношения точностей угловых и линейных измерений на корреляцию координат узлового пункта полигонометрической сети. Известия высших учебных заведений. Геодезия и аэрофотосъемка, № 3, с. 27–33.
13. Клыпин И.А., Алексеева А.А., 2023. Оценка существенности коррелированности измерений при их математической обработке. Пространственные данные: наука и технологии, Том 14, № 1, с. 65–75, https://doi.org/10.30533/scidata-2023-14-10.
14. Маркузе Ю.И. (ред.), 2005. Теория математической обработки геодезических измерений. Книга 2. Основы метода наименьших квадратов и уравнительных вычислений. Изд-во МИИГАиК, Москва.
15. Меженова И.И., 2019. Применение электронных тахеометров для полигонометрических работ при прохождении летней практики. Приложение к журналу Известия высших учебных заведений. Геодезия и аэрофотосъемка, Сборник статей по итогам научно-технической конференции, № 10-2, с. 7–10.
16. Мицкевич В.И., Куприенко Н.О., Усов Д.В., 2009. О квазиравноточных нивелирных сетях, получаемых при уравнивании равноточных построений методом LP-оценок. Вестник Полоцкого государственного университета. Серия F. Строительство. Прикладные науки, № 12, с. 132–135.
17. Насретдинов К.К., 1981. Сравнение способов определения весов измерений из уравнивания. Геодезия и картография, № 8, с. 24–28.
18. Нейман Ю.М., 2008. К вопросу о математической обработке разнородных измерений. Известия высших учебных заведений. Геодезия и аэрофотосъемка, № 2, с. 7–21.
19. Нейман Ю.М., Сугаипова Л.С., 2021. О совместной обработке разнородных измерений с помощью анализа компонент дисперсии. Известия высших учебных заведений. Геодезия и аэрофотосъемка, Том 65, № 2, с. 135–146, https://doi.org/10.30533/0536-101X-2021-65-2-135-146.
20. Овчинников В.А., 1988. Анализ чувствительности линейно-азимутальных сетей к назначению весовой матрицы. Известия высших учебных заведений. Геодезия и аэрофотосъемка, № 6, с. 78–83.
21. Скейвалас И.М., 1984. Обобщенная оценка точности результатов уравнивания. Известия высших учебных заведений. Геодезия и аэрофотосъемка, № 52, с. 13–17.
22. Тамутис З.П., 1990. Проектирование инженерных геодезических сетей. Недра, Москва.
23. Эрлих Л.А., 2020. Оптимизация вычислений при уравнивании обширных геодезических сетей. Приложение к журналу Известия высших учебных заведений. Геодезия и аэрофотосъемка, Сборник статей по итогам научно-технической конференции, № 11, с. 32–33.
24. Яковлев Н.В., 1989. Высшая геодезия. Недра, Москва.
25. Alpargu G., 1996. The Kantorovich inequality with some extensions and with some statistical applications. Publishing house of the McGill University, Montreal, Canada.
26. Fika F., Mitrouli M., Turec O., 2021. On the estimation of xTA–1x for symmetric matrices. Electronic Journal of Linear Algebra, Vol. 37, pp. 549–561, https://doi.org/10.13001/ela.2021.5611.
27. Grafarend E., Harland P., 1973. Optimales design geodätischer netze. Verlag der Deutsche Geodätische Kommission der Bayerische Akademie der Wissenschaften, München.
28. Li B.F., Shen Y.Z., Xu P.L., 2008. Assessment of stochastic models for GPS measurements with different types of receivers. Chinese Science Bulletin, Vol. 53, pp. 3219–3225, https://doi.org/10.1007/s11434-008-0293-6.
29. Mirmohammadian F., Asgari J., Verhagen S., Amiri-Simkooei A., 2022. Improvement of Multi-GNSS precision and success rate using realistic stochastic model of observations. Remote Sensing, Vol. 14, ID 60, https://doi.org/10.3390/rs14010060.
30. Teunissen P.J.G., Amiri-Simkooei A.R., 2008. Least-squares variance component estimation. Journal of Geodesy, Vol. 82, pp. 65–82, https://doi.org/10.1007/s00190-007-0157-x.

КЛЫПИН И.А.*
Московский государственный университет геодезии и картографии, г. Москва, Россия, uvcgf@mail.ru
Адрес: Гороховский пер., д. 4, г. Москва, 105064, Россия
ППК «Роскадастр», г. Москва, Россия
Адрес: шоссе Энтузиастов, д. 14, г. Москва, 111024, Россия
АЛЕКСЕЕВА А.А.
Московский государственный университет геодезии и картографии, г. Москва, Россия, nastja1601@mail.ru
АО «Моспромпроект», г. Москва, Россия
Адрес: 1-ая Брестская ул., д. 58, г. Москва, 125047, Россия

The paper discusses the issues related to choosing a stochastic adjustment model for assigning weights to geodetic measurements. It takes into account the correlation between these measurements and the possibility of replacing strict least squares adjustment with a weight matrix on an approximate adjustment with arbitrary symmetric non-degenerate matrix. Based on the principle of negligible influence, generalized variance, and Kantorovich inequality, a universal criterion has been derived for assessing the significance of differences between the results of strict and approximate adjustment. This criterion is independent of the type of geodetic measurements and the type of geodetic network. The cases of linear, angular, and satellite measurements are discussed. The paper updates the previously conducted research on linear measurements using modern optical range units of electronic total station in various measurement modes. It is determined within what distances linear measurements can be given the same weights, depending on the accuracy characteristics of the measuring device and the selected measurement mode. It is also shown in which cases the effects of centering and reduction errors can be ignored. For angular measurements, the possibility of not taking into account the correlation of angles obtained using basic and sequential direction methods, as well as when performing measurements using circular techniques, has been investigated. A range of baselines has been determined for satellite measurements within which vector adjustment is possible without correcting the inverse weight matrices. The need to take into account the correlation between vector components has also been analyzed. The results obtained allow us to reasonably simplify the mathematical processing of geodetic measurements and optimize the computational process without significantly compromising the accuracy of the results.

1. Alekseeva A.A., 2024. Taking into account the correlation of phase differences in the processing of GNSS measurements. International Youth Science Week YSW-2023, Collection of papers of the 78th scientific and technical Conference of students, graduate students and young scientists, Moscow, 2023, pp. 28–35, https://doi.org/10.30533/vestnikgeo-2023-027. (in Russian)
2. Antonovich K.M. 2006. Use of satellite radio navigation systems in geodesy. Vol. 2. Kartgeocenter, Moscow. (in Russian)
3. Antonovich K.M., Yakhman V.V. 2006. Selection of a stochastic model for adjustment of satellite geodetic networks. Vestnik SSUGT, No. 11, pp. 58–64. (in Russian)
4. Astapovich A.V., 2022. A method of infallible angular measurements representing the results of independent equally accurate directions’ number. Geodesy and Cartography, Vol. 83, No. 12, pp. 2–11, https://doi.org/10.22389/0016-7126-2022-990-12-2-11. (in Russian)
5. Bolshakov V.D., Markuze Yu.I., 1979. Urban polygonometry (adjustment and design principles). Nedra, Moscow. (in Russian)
6. Vershinin V.I., 2000. The influence of measurement scale errors on the results of adjustment and accuracy assessment. Geodesy and Cartography, No. 6, pp. 17–22. (in Russian)
7. Vizgin A.A., 1962. Analysis of methods of high-precision angular measurements and the influence of errors in the scales of measured quantities on the results of equilibration of geodetic constructions. In collection of papers Geodesy research, Issue 12, pp. 9–74. (in Russian)
8. Voronin E.G., 2022. The influence of direct measurement weights over the statistical quality of solving inverse photogrammetry tasks. Geodesy and Cartography, Vol. 83, No. 9, pp. 37–46, https://doi.org/10.22389/0016-7126-2022-987-9-37-46. (in Russian)
9. Golubev V.V., 2021. Theory of mathematical processing of geodetic measurements. Infra-Engineering, Moscow— Vologda. (in Russian)
10. Gromov E.V., 1969. On the issue of determining weights in light rangefinder polygonometry. Geodeziya i Kartografiya, No. 11, pp. 13–16. (in Russian)
11. Zubarev A.E., 2010. Numerical test with mathematical processing of geodetic measurements. Izvestiya Vuzov. Geodesy and Aerophotosurveying, No. 2, pp. 28–33. (in Russian)
12. Kiselev M.I., 1975. On the influence of the angular referencing method and the ratio of the accuracies of angular and linear measurements on the correlation of the coordinates of a nodal point of a polygonometric network. Izvestia Vuzov. Geodesy and Aerophotosurveying, No. 3. pp. 27–33. (in Russian)
13. Klypin I.A., Alekseeva A.A., 2023. Estimation of the significance of the correlation of measurements in their mathematical processing. Spatial Data: Science and Technology, Vol. 14, No. 1, pp. 65–75, https://doi.org/10.30533/scidata-2023-14-10. (in Russian)
14. Markuze Yu.I. (ed.), 2005. Theory of mathematical processing of geodetic measurements. Book 2. Fundamentals of the least squares method and adjustment calculations. Publishing house of the Moscow State University of Geodesy and Cartography, Moscow. (in Russian)
15. Mezhenova I.I., 2019. Use of electronic total stations for polygonometric work during summer internships. Supplement to the journal Izvestia Vuzov. Geodesy and Aerophotosurveying, Collection of papers from the scientific and technical Conference, No. 10-2, pp. 7–10. (in Russian)
16. Mitskevich V.I., Kuprienko N.O., Usov D.V., 2009. On quasi-equal-precision leveling networks obtained by adjusting equally accurate constructions using the LP-estimation method. Vestnik Polotskogo gosudarstvennogo universiteta. Seriya F. Stroitelstvo. Prikladnye nauki, No. 12, pp. 132–135. (in Russian)
17. Nasretdinov K.K., 1981. Comparison of methods for determining measurement weights from adjustment. Geodesy and Cartography, No. 8, pp. 24–28. (in Russian)
18. Neiman Yu.M., 2008. On the issue of mathematical processing of heterogeneous measurements. Izvestia Vuzov. Geodesy and Aerophotosurveying, No. 2, pp. 7–21. (in Russian)
19. Neiman Yu.M., Sugaipova L.S., 2021. Heterogeneous measurements processing by means of variance component estimation. Izvestia Vuzov. Geodesy and Aerophotosurveying, Vol. 65, No. 2, pp. 135–146, https://doi.org/10.30533/0536-101X-2021-65-2-135-146. (in Russian)
20. Ovchinnikov V.A., 1988. Analysis of sensitivity of linear-azimuth networks to the assignment of a weight matrix. Izvestia Vuzov. Geodesy and Aerophotosurveying, No. 6, pp. 78–83. (in Russian)
21. Skeyvalas I.M., 1984. Generalized assessment of the accuracy of adjustment results. Izvestia Vuzov. Geodesy and Aerophotosurveying, No. 52, pp. 13–17. (in Russian)
22. Tamutis Z.P., 1990. Design of engineering geodetic networks. Nedra, Moscow. (in Russian)
23. Erlich L.A., 2020. Optimization of computations in adjusting extensive geodetic networks. Supplement to the journal Izvestia Vuzov. Geodesy and Aerophotosurveying, Collection of papers from the scientific and technical Conference, No. 11, pp. 32–33. (in Russian)
24. Yakovlev N.V., 1989. Higher geodesy. Nedra, Moscow. (in Russian)
25. Alpargu G., 1996. The Kantorovich inequality with some extensions and with some statistical applications. Publishing house of the McGill University, Montreal, Canada.
26. Fika F., Mitrouli M., Turec O., 2021. On the estimation of xTA–1x for symmetric matrices. Electronic Journal of Linear Algebra, Vol. 37, pp. 549–561, https://doi.org/10.13001/ela.2021.5611.
27. Grafarend E., Harland P., 1973. Optimales design geodätischer netze. Verlag der Deutsche Geodätische Kommission der Bayerische Akademie der Wissenschaften, München.
28. Li B.F., Shen Y.Z., Xu P.L., 2008. Assessment of stochastic models for GPS measurements with different types of receivers. Chinese Science Bulletin, Vol. 53, pp. 3219–3225, https://doi.org/10.1007/s11434-008-0293-6.
29. Mirmohammadian F., Asgari J., Verhagen S., Amiri-Simkooei A., 2022. Improvement of Multi-GNSS precision and success rate using realistic stochastic model of observations. Remote Sensing, Vol. 14, ID 60, https://doi.org/10.3390/rs14010060.
30. Teunissen P.J.G., Amiri-Simkooei A.R., 2008. Least-squares variance component estimation. Journal of Geodesy, Vol. 82, pp. 65–82, https://doi.org/10.1007/s00190-007-0157-x.

IGOR A. KLYPIN*
Moscow State University of Geodesy and Cartography; Moscow, Russia; uvcgf@mail.ru
Address: Bld. 4, Gorokhovsky Ln., 105064, Moscow, Russia
Roskadastr PLC; Moscow, Russia
Address: Bld. 14, Entuziastov Hwy, 111024, Moscow, Russia
ANASTASIA A. ALEKSEEVA
Moscow State University of Geodesy and Cartography; Moscow, Russia; nastja1601@mail.ru
Mospromproekt JSC; Moscow, Russia
Address: Bld. 58, 1st Brestskaya St., 125047, Moscow, Russia