Рассмотрена задача применения односторонне-усеченного лог-нормального распределения (семейство кривых Кэптейна) к временным рядам максимальных расходов воды дождевых паводков. Установлено, что данные ряды аппроксимируются распределением данного вида наилучшим образом. Показана взаимосвязь статистических моментов полных и усеченных распределений. Выполнена апробация методики построения усеченного лог-нормального распределения при обработке материалов гидрометеорологических наблюдений. Разработаны расчетные номограммы для перехода от статистик полных к усеченным распределениям для лог-нормального закона. Разработанный математический аппарат усеченного лог-нормального распределения позволяет существенно повысить качество автоматизированной статистической обработки неоднородных временных рядов максимальных расходов воды дождевых паводков на малых реках, характеризующихся высокой степенью изменчивости и неоднородности. Разработанные номограммы и уравнения, устанавливающие соотношения между статистическими параметрами усеченного ряда и моделируемого на его основе полного ряда, позволяют корректно описать верхнюю часть кривой обеспеченностей. Погрешности определения нормы полного ряда по параметрам усеченного ряда с использованием полученной методики не превышают 6%, коэффициента вариации — 15%. Оценка выполнена по материалам наблюдений дождевых паводков на постах Уральского управления по гидрометеорологии и мониторингу окружающей среды (УГМС) с площадью водосбора близкой к 200 км² и менее. Предложена методика расчета параметров полных лог-нормальных распределений, построенных на основании усеченных выборок:
1) исходный ряд логарифмируется, и далее — переводится в модульные коэффициенты;
2) методом моментов рассчитывается норма и коэффициент вариации для сформированной части ряда выше точки усечения;
3) по номограммам осуществляется переход от статистик усеченного ряда к статистикам полного ряда;
4) по статистикам полного ряда определяются квантили до точки усечения;
5) данные квантили умножаются на норму усеченного ряда в логарифмированном виде, т.е. выполняется обратный пересчет от модульных коэффициентов к значениям логарифмированного ряда;
6) вычисляются экспоненты этих значений.

1. Блохинов Е.Г., 1973. Усеченное распределение вероятностей для расчета максимального стока рек. Проблемы регулирования и использования водных ресурсов. Москва, с. 30–55.
2. Блохинов Е.Г.,1974. Распределение вероятностей величин речного стока. Москва.
3. Болгов М.В., Сарманов И.О., 1988. Усеченное трехпараметрическое гамма- распределепие Н. Крицкого и М.Ф. Менкеля и некоторые его приложения к гидрологическим расчетам. Водные ресурсы, № 2, с. 24–29.
4. Болгов М.В., Мишон В.М., Сенцова Н.И., 2005. Современные проблемы оценки водных ресурсов и водообеспечения. Москва.
5. Джонсон Н.Л., Коц С., Балакришнан Н., 2010. Одномерные непрерывные распределения. Изд. 2. Ч. 2. Теория вероятностных распределений /пер. с англ./ Москва.
6. Крицкий С.Н., Менкель М.Ф., 1981. Гидрологические основы управления речным стоком. Москва.
7. Малышева Н.Г., 2011. Способы аппроксимации эмпирических кривых обеспеченностей в условиях неоднородных выборок. Ученые записки РГГМУ, № 21, с. 25–31.
8. Международное руководство по методам расчета основных гидрологических характеристик, 1984. Ленинград.
9. Осипова Н.В., 2009. О выборе точки усечения в задаче аппроксимации распределения вероятностей. Водные ресурсы, № 6, с. 668–682.
10. Раткович Д.Я., Болгов М.В., 1997. Стохастические модели колебаний составляющих водного баланса речного бассейна. Москва.
11. Сотникова Л.Ф., 1973. Опыт применения усеченного гамма-распределения к расчету максимального стока рек. Проблемы регулирования и использования водных ресурсов. Москва.
12. Swamee P.K., 2002. Near Lognormal Distribution. Journal of Hydrologic Engineering, No. 7 (6), рр. 441–444.

КЛИМЕНКО Д.Е.
Пермский государственный национальный исследовательский университет, г. Пермь, Россия, Listopad19531@mail.ru
Адрес: ул. Букирева, д. 15, г. Пермь, 614990, Россия

The article deals with the problem of applying a one-sided truncated log-normal distribution (the family of Kaptein curves) to the time series of the maximum flow of water from rain floods. It is established that these series are approximated by the distribution of this species in the best way. The interrelation between the statistical moments of total and truncated distributions is established. Approbation of the technique for constructing a truncated log-normal distribution during the processing of materials of hydrometeorological observations was carried out. Design nomograms for the transition from statistics of complete to truncated distributions for the log-normal law are developed. The developed mathematical apparatus of the truncated log-normal distribution makes it possible to significantly improve the quality of automated statistical processing of inhomogeneous time series of maximum water discharge of rain floods on small rivers characterized by a high degree of variability and heterogeneity. The developed nomograms and equations that establish the relationships between the statistical parameters of the truncated series and the complete series modeled on its basis allow us to correctly describe the upper part of the supply curve. The errors in determining the norm of the full series with respect to the parameters of the truncated series using the method obtained do not exceed 6%, and the coefficient of variation is 15%. The assessment is based on observations of rainfalls at the posts of the Ural UGMS with a catchment area close to 200 km² or less. A technique for calculating the parameters of complete log-normal distributions constructed on the basis of truncated samples is proposed:
1. The initial series is logarithmized, and further — it is translated into modular coefficients;
2. The method of moments calculates the norm and the coefficient of variation for the formed part of the series above the truncation point;
3. According to the nomograms, the transition from the statistics of the truncated series to the statistics of the full series is carried out;
4. According to the statistics of the complete series, quantiles are determined up to the point of truncation;
5. Quantile data are multiplied by the norm of the truncated series in a logarithmic form, i.e. the inverse conversion from modular coefficients to the values of the logarithmic series is performed;
6. The exponents of these values are calculated.

1. Blokhinov Ye.G., 1973. Truncated probability distribution for calculating the maximum flow of rivers. Problems of regulation and use of water resources. Moscow. pp. 30–55. (In Russ.).
2. Blokhinov Ye.G.,1974. The distribution of the probabilities of the river flow. Moscow (In Russ.).
3. Bolgov M.V., Sarmanov I.O., 1988. Truncated three-parameter gamma distribution of N. Kritsky and M.F. Menckel and some of his applications to hydrological calculations. Water resources, No. 2, pp. 24–29. (In Russ.).
4. Bolgov M.V., Mishon V.M., Sentsova N.I., 2005. Modern problems of water resources and water supply assessment. Moscow (In Russ.).
5. Dzhonson N.L., Kots S., Balakrishnan N., 2010. One-dimensional continuous distributions. Ed. 2. Part 2. Theory of probability distributions. / Moscow (In Russ.).
6. Kritskiy S.N., Menkel' M.F., 1981. Hydrological basis of river flow management. Moscow (In Russ.).
7. Malysheva N.G., 2011. Methods for approximating empirical supply curves under conditions of inhomogeneous samples. Scientific notes of RGGMU, No. 21, pp. 25–31. (In Russ.).
8. International guidelines on methods for calculating basic hydrological characteristics, 1984. Leningrad (In Russ.).
9. Osipova N.V., 2009. On the choice of the truncation point in the problem of approximating the probability distribution. Water resources, No. 6, pp. 668–682. (In Russ.).
10. Ratkovich D.Ya., Bolgov M.V., 1997. Stochastic models of fluctuations in the components of the water balance of a river basin. Moscow (In Russ.).
11. Sotnikova L.F., 1973. The experience of applying a truncated gamma distribution to the calculation of the maximum flow of rivers. Problems of regulation and use of water resources. Moscow (In Russ.).
12. Swamee P.K., 2002. Near Lognormal Distribution. Journal of Hydrologic Engineering, No. 7 (6), pp. 441–444.

DMITRY E. KLIMENKO
Perm State National Research University; Perm, Russia; Listopad19531@mail.ru
Address: Bld. 15, Bykireva St., 614990, Perm, Russia